OpenAI 차세대 모델 '아스트라'가 수학과 이론 컴퓨터과학의 수십년 난제를 해결했는데

고차원 기하학, 부호 이론, 산술 회로 복잡도, 군론, 작용소 대수, 양자 복잡도, 격자 암호, 극값 조합론 난제를 해결했다고 함

소요시간은 겨우 일주일이고

비용은 겨우 2000달러, 한화 300만원 ㄷㄷ

10가지는 난제는 반례 3개(3, 4, 10번)를 포함해서 긍정적 증명 4개(1, 6, 8, 9번)와 기존 경계 • 기록 개선 3개(2, 5, 7번) 난제도 해결

unsolvedmath.com에서 최고난이도 level5 난제는 136개 존재하는데 별명이 밀레네엄 프라이즈, 준밀레네엄급임

https://www.unsolvedmath.com/problems?difficulty=5&page=3

그런데 아스트라가 level5 난제 2개를 해결한 거임 ㄷㄷ

저번주 페이블과 OpenAI 내부모델이 해결한 야코비안 추측 반례도 level 4 난제

그런데..

level5인 고차원 구면 채우기 난제 해결은 수학의 노벨상인 필즈상 급이라고 하고

또다른 level 5 난제인 비소픽 군 존재 증명도 필즈상 급 ㄷㄷ

AI가 증명한 최초의 진지한 수학 결과, 지금까지 나온 수학 AI 결과 중 가장 중요한 것이라는 반응도 ㄷㄷ

https://cdn.openai.com/pdf/ten-proofs-oai.pdf

이건 OpenAI가 발표한 10가지 난제 해결 pdf 파일

아래는 OpenAI가 10가지 난제 해결 발표하며 게시한 내용 내용 전문

<수학 및 이론 컴퓨터과학의 열 가지 진전>

우리는 과학자와 수학자들이 발견의 속도를 높일 수 있도록 강력한 도구를 제공하고자 한다. 이러한 목표 아래 최근 10만 명의 과학자와 수학자에게 최고 성능의 ChatGPT 모델을 무료로 제공하는 ‘학술 연구자를 위한 ChatGPT’ 이니셔티브를 발표했다. 또한 모델을 개발하는 과정에서 공개된 미해결 연구 문제를 대상으로 모델의 능력을 지속적으로 평가하고 있다.

지난 5월에는 아직 공개되지 않은 모델을 평가하던 중 발견된, 에르되시 단위거리 추측에 대한 AI 생성 반례를 공개했다. 이 연구는 이미 수학과 이론 컴퓨터과학에서 여러 후속 연구를 촉발했다.¹

오늘은 적어도 10년 동안 핵심 결론에 아무런 진전이 없었고, 대부분은 그보다 훨씬 오랫동안 미해결 상태였던 문제들에 대한 열 가지 결과를 선별해 공개한다. 이 문제들은 고차원 기하학, 부호 이론, 산술 회로 복잡도, 군론, 작용소 대수, 양자 복잡도, 격자 암호학, 극값 조합론에 걸쳐 있다.

모든 문제는 각각의 수학 공동체에서 상당한 관심을 받아온 문제이며, 그중 일부는 수학 전반에 걸쳐 폭넓게 중요하게 여겨지는 문제다.

결과

다음 문제들에 대해 새로운 결과를 제시한다.

이 결과들은 우리의 차세대 주요 모델인 Astra의 내부 버전이 도출했다. 이 문제들의 해법을 찾는 데 사용된 전체 토큰을 Sol API 요금으로 환산하면 약 2,000달러 수준이다.

이후 인간 연구자들이 같은 모델을 사용해 논증을 논문 형식으로 정리했다. 그다음 모델은 각 논증을 Lean 인증서로 형식화했다. 또한 각 해법에 대해 모델이 자신의 사고 과정을 설명하는 해설도 함께 공개한다.

1. 고차원 구 채우기

구 채우기 밀도에 관한 새로운 상계로서, Cohn–Elkies 임계값에 이르는 범위까지 상계를 개선했다.

2. 이진 부호와 구면 부호

주어진 최소거리를 갖는 이진 부호의 최대 크기에 대해 지수적으로 개선된 상계를 얻었다. 고차원 구면 부호에 대해서도 이에 상응하는 결과를 제시한다.

3. 비소픽 군

비소픽 군이 실제로 존재함을 확립하는 구성을 제시했다. 이는 군론의 중심적인 미해결 문제에 답을 제시한다.

4. 콘느의 강성 추측

특정 군이 자신의 폰 노이만 대수에 의해 유일하게 결정된다는 오랜 추측에 대한 반례를 제시했다.

5. 산술 회로 복잡도

산술 회로와 산술 수식을 이용해 퍼머넌트를 계산하는 문제에 대해 새로운 하한을 얻었다. 여기에는 n⁴/log n 차수의 산술 수식 하한도 포함된다.

6. 양자 병렬 반복

일반적인 두 참여자 양자 게임에 대해 지수적 병렬 반복 정리를 증명했다. 이는 고전 복잡도 이론의 기초적인 원리를 양자 환경으로 확장한 결과다.

7. 최근접 벡터 문제

최근접 벡터 문제의 근사에 대해 다항식 배수 수준의 난해성을 증명했다. 이 문제는 포스트양자 암호와 관련된 격자 이론의 기초적인 문제다.

8. 에르하르트의 부피 추측

무게중심이 유일한 내부 격자점인 볼록체가 가질 수 있는 최대 부피를 모든 차원에서 결정했다.

9. 다색 램지 수

다색 삼각형 램지 수에 대해 초지수적 하한을 증명해 에르되시 문제 183번을 해결했다.

10. 극값 수 추측

극값 그래프 이론의 콤팩트성 추측과 퇴화도 추측에 관한 결과를 얻어 에르되시 문제 146번과 180번을 해결했다.

수학 공동체에 대한 책임

수학 연구에 기여할 수 있는 시스템의 등장은 기술 기업 하나만으로는 답할 수 없는 여러 질문을 제기한다.

수학에서 AI가 어떤 역할을 해야 하는지를 두고 다양한 견해가 존재한다. 우리는 AI가 수학에 미칠 영향을 우려하는 사람들의 입장을 깊이 존중하고 이해하며, 여기에는 ‘AI와 수학에 관한 레이던 선언’의 서명자들도 포함된다.

우리는 연구 결과가 어떻게 만들어졌는지를 저자 표시가 정직하게 반영해야 한다고 생각한다. AI 시스템이 전적으로 생성한 증명에 대해 인간이 저자라고 주장한다면, 이는 시스템이 기여한 바와 진정한 인간 지적 노동의 성격을 모두 왜곡하는 일이다.

우리는 논문 원고를 준비하고 증명을 Lean으로 형식화하는 일을 지원했으며, 그 정확성에 대해서는 책임을 진다. 그러나 수학적 논증 자체는 우리 시스템이 생성했다.

우리는 수학 공동체가 이러한 결과를 깊이 검토하고, 기존 연구의 맥락 속에서 평가하며, 그 이면의 아이디어를 새로운 연구와 발견으로 발전시키기를 바란다.

AI 시스템이 더욱 정교한 연구 협력자로 발전함에 따라, 이러한 도구에 대한 폭넓은 접근성을 보장하는 것은 매우 중요하다. 이는 과학자와 수학자들이 이 거대한 전환기에 자신들의 학문 분야가 나아갈 미래를 탐색하고 정의하도록 지원하기 위한 기본 조건이다.

2026년

각주

¹ 후속 연구에는 다음이 포함된다.

* Bloom, Sawin, Schildkraut, Zhelezov, 「실수에서 합-곱 추측은 거짓이다」

* Pohoata, 「분해 소수와 Elekes–Rónyai 문제」

* Saha, Xu, Ye, 「SETH 가정 아래 초상수 차원에서 최원점 쌍 문제는 이차 시간을 필요로 한다」

* Goh, Hatami, 「실수 위 점-직선 교차의 통신 복잡도」

* Lee, Pohoata, Zhu, 「민코프스키 격자는 강건하게 많은 반복 거리를 갖는다」

https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/

+) 10가지 증명 모두 lean 인증서와 CoT 단계별 설명 완전 포함됨

수학적 정리나 논리적 명제를 검증하는 컴퓨터 과학 및 AI 분야에서, Lean은 마이크로소프트 연구소 등에서 개발한 알고리즘 기반의 'Interactive Theorem Prover(대화형 정리 증명기)'이자 프로그래밍 언어로 사람이 작성한 증명에 수학적 오류가 없는지 컴퓨터가 100% 완벽하게 검증

인증서의 의미는 AI나 사람이 제시한 증명 코드가 Lean 컴파일러를 통과하여 "이 수학적 증명은 절대적으로 참(True)이다"라고 완전히 공인 즉, 논리적 오류가 없는 완벽한 증명 파일(.lean)이 첨부되어 있다는 의미

CoT(Chain of Thought, 생각의 사슬): AI 모델이 정답만 툭 던지는 것이 아니라, 최종 결론에 도달하기까지의 인간적인 논리적 사고 흐름을 순서대로 보여주는 기법으로 기계가 읽는 Lean 코드뿐만 아니라, 인간 독자가 쉽게 이해할 수 있도록 "1단계: A이므로 B이다", "2단계: B와 C를 결합하면 D가 유도된다"와 같이 친절한 자연어 해설이 처음부터 끝까지 생략 없이 모두 적혀 있음